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先序遍历原理：从树结构到实际应用的深度解析

先序遍历（Pre-order Traversal）是树结构中最基础、最常用的遍历方式之一，其核心思想是“先访问根节点，再递归遍历左子树，最后递归遍历右子树”。在部门树形结构等场景中，先序遍历的衍生设计（如左值右值标记法）能极大提升数据操作效率。以下从基础概念到实际应用展开详细解说。

一、先序遍历的基础定义与核心规则

1. 树结构的基本概念

在讲解先序遍历前，需明确树的核心术语：

• 节点：树中的每个元素（如部门树形结构中的“部门”）。
• 根节点：树的顶层节点（无父节点，如公司总部）。
• 子节点：被父节点直接包含的节点（如“技术部”是“研发中心”的子节点）。
• 叶子节点：无任何子节点的节点（如“前端开发组”）。
• 路径：从根节点到某一节点的所有节点组成的序列。

2. 先序遍历的核心逻辑

先序遍历的遍历顺序可概括为 “根 → 左 → 右”，即：

1. 首先访问当前节点（记录或处理节点信息）；
2. 递归地对当前节点的左子树执行先序遍历；
3. 递归地对当前节点的右子树执行先序遍历。

示例：二叉树的先序遍历

对如下二叉树（A为根节点，B、C为子节点）：

    A
   / \
  B   C
 / \
D   E

先序遍历顺序为：
A → B → D → E → C

• 访问根节点A → 遍历左子树B → 访问B → 遍历B的左子树D → 访问D（无左右子树）→ 遍历B的右子树E → 访问E → 左子树遍历完成 → 遍历根节点A的右子树C → 访问C。

二、多叉树的先序遍历（部门树场景适配）

部门树等实际场景中，树通常是多叉树（一个父节点可包含多个子节点），先序遍历规则调整为：
“根 → 子树1 → 子树2 → ... → 子树n”，即访问根节点后，按顺序递归遍历每个子树。

1. 多叉树先序遍历示例

以某公司部门树为例（根节点为“总公司”，下设“技术部”“市场部”，技术部下设“前端组”“后端组”）：

        总公司（根节点）
       /        \
  技术部        市场部
  /    \
前端组  后端组

先序遍历顺序为：
总公司 → 技术部 → 前端组 → 后端组 → 市场部

• 访问总公司 → 遍历第一个子树“技术部” → 访问技术部 → 遍历技术部第一个子树“前端组” → 访问前端组（无子节点）→ 遍历技术部第二个子树“后端组” → 访问后端组 → 技术部子树遍历完成 → 遍历总公司第二个子树“市场部” → 访问市场部。

三、先序遍历在部门树存储中的核心应用：左值（lft）与右值（rgt）标记

在部门树形结构存储优化中，先序遍历的核心价值在于通过**“进入标记”和“离开标记”** 记录节点的层级关系，即左值（lft）和右值（rgt）的设计。

1. 标记规则

遍历过程中，每个节点会被标记两个值：

• 左值（lft）：首次访问节点（进入节点）时记录的序号（从1开始递增）；
• 右值（rgt）：遍历完该节点的所有子节点后（离开节点）记录的序号。

2. 标记示例（基于上述部门树）

遍历步骤	操作	节点	lft值	rgt值
1	进入根节点	总公司	1	-
2	进入子节点	技术部	2	-
3	进入子节点	前端组	3	-
4	离开前端组（无子节点）	前端组	-	4
5	进入子节点	后端组	5	-
6	离开后端组（无子节点）	后端组	-	6
7	离开技术部（所有子节点遍历完成）	技术部	-	7
8	进入子节点	市场部	8	-
9	离开市场部（无子节点）	市场部	-	9
10	离开总公司（所有子节点遍历完成）	总公司	-	10

最终标记结果：

节点	lft	rgt
总公司	1	10
技术部	2	7
前端组	3	4
后端组	5	6
市场部	8	9

3. 核心规律（标记的价值所在）

通过先序遍历标记的lft和rgt，形成以下关键规律，支撑高效查询：

• 父子关系：父节点的lft < 所有子节点的lft，且父节点的rgt > 所有子节点的rgt（如总公司lft=1 < 技术部lft=2，rgt=10 > 技术部rgt=7）。
• 子孙范围：一个节点的所有子孙节点，其lft和rgt均在该节点的lft和rgt之间（如技术部的子孙节点前端组、后端组，lft均在2-7之间）。
• 叶子节点特征：叶子节点无子孙，因此rgt = lft + 1（如前端组lft=3，rgt=4=3+1）。
• 子孙数量计算：某节点的子孙总数 = (rgt - lft - 1) / 2（如技术部子孙数=(7-2-1)/2=2，即前端组和后端组）。

四、先序遍历的优缺点与适用场景

1. 优势

• 查询效率极高：基于lft和rgt的规律，无需递归即可快速查询子孙节点、计算数量、判断叶子节点等，时间复杂度低。
• 关系表达直观：通过数值范围直接体现层级关系，避免传统parent_id的链式依赖。

2. 局限性

• 维护成本高：新增或删除节点时，需批量更新后续节点的lft和rgt（如插入一个节点需给所有lft大于插入位置的节点+2），数据量大时操作耗时。
• 初始化复杂：现有树形结构迁移时需全量遍历计算lft和rgt，层级过深或数据量大时成本高。

3. 适用场景

最适合查询频繁、结构稳定、数据量中等的树形场景，如：

• 企业组织架构（部门层级变动少，查询需求多）；
• 权限菜单树（菜单结构稳定，需频繁查询子菜单）；
• 分类目录树（如电商商品分类，查询远多于增删）。

五、总结

先序遍历作为树结构的基础遍历方式，其核心是“先根后子”的访问顺序。在部门树等场景中，通过衍生的lft和rgt标记法，将树形关系转化为数值范围关系，实现了查询效率的质的提升。理解先序遍历的原理，不仅能掌握这一优化方案的核心逻辑，更能深入理解树形数据结构在计算机存储与操作中的设计思想。实际应用中需结合业务的查询与写入频率、数据量大小，权衡其优势与维护成本，避免盲目套用。

六、附

查出所有子孙部门

SET @lft := 9;
SET @rgt := 18;
SELECT * FROM department WHERE lft BETWEEN @lft AND @rgt ORDER BY lft ASC;
/*例子中用BETWEEN将被查部门本身也查了出来。实际中可以用大于小于*/

查询子孙部门总数

总数 = (右值 - 左值 - 1) / 2

新增部门

SET @lft := 7;/*新部门的左值*/
SET @rgt := 8;/*新部门的左值*/
SET @level := 5;/*新部门的层级*/
begin;
/*将插入的后续边缘的节点左右数+2*/
UPDATE department SET lft=lft+2 WHERE lft > @lft;
UPDATE department SET rgt=rgt+2 WHERE rgt >= @lft;
/*插入数据*/
INSERT INTO department(name,lft,rgt,level) VALUES('新部门',@lft,@rgt,level);
/*新增影响行数为0时，必须回滚*/
commit;
/*rollback;*/

删除

SET @lft := 7;/*要删除的节点左值*/
SET @rgt := 8;/*要删除的节点右值*/
begin;
UPDATE department SET lft=lft-2 WHERE lft > @lft;
UPDATE department SET rgt=rgt-2 WHERE rgt > @lft;

/*删除节点*/
DELETE FROM department WHERE lft=@lft AND rgt=@rgt;
/*删除影响行数为0时，必须回滚*/
commit;

直接子节点

SET @level := 2;/*总经理的level*/
SET @lft := 2;/*总经理的左值*/
SET @rgt := 19;/*总经理的右值*/

SELECT * FROM department WHERE lft > @lft AND rgt < @rgt AND level = @level+1;

祖宗链路

SET @lft := 3;/*产品部左值*/
SET @rgt := 8;/*产品部右值*/

SELECT * FROM department WHERE lft < @lft AND rgt > @rgt ORDER BY lft ASC;

计算层级

-- 统计祖链节点数量，再加1即为当前节点层级
SELECT COUNT(*) + 1 AS level
FROM department
WHERE lft < 3 AND rgt > 4;

直接存储 层级